Définition :
La suite \((u_n)\) est une suite de Cauchy dans \({\Bbb R}\) si et seulement si $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N=N_\varepsilon,\forall n\geqslant N,\forall p\geqslant0,\quad\lvert u_n-u_{n+p}\rvert\lt \varepsilon$$
(Métrique - Distance, Critère de Cauchy, //Limite)
Définition d'une suite de Cauchy :
soit \((x_n)_{n\geqslant0}\in E\)
$$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0,\forall m\geqslant N,\forall n\geqslant N, d(x_n,x_m)\leqslant\varepsilon$$
$$\Huge\iff$$
\((x_n)_n\) est une suite de Cauchy
Propriétés
Convergence
Théorème :
Pour les suites réelles, il y a équivalence entre :